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第1章 数学建模与误差分析1

1.1 数学与科学计算1

1.2 数学建模及其重要意义1

1.2.1 数学建模的过程1

1.2.2 数学建模的一般步骤2

1.2.3 数学建模的重要意义3

1.3 数值方法与算法评价4

1.4 误差的种类及其来源6

1.4.1 模型误差6

1.4.2 观测误差6

1.4.3 截断误差6

1.4.4 舍入误差7

1.5 绝对误差和相对误差7

1.5.1 绝对误差和绝对误差限7

1.5.2 相对误差和相对误差限8

1.6 误差的传播与估计9

1.6.1 误差传播估计的一般公式9

1.6.2 误差在算术运算中的传播11

1.6.3 算法误差实例分析12

习题116

第2章 城市供水量的预测模型——插值与拟合算法18

2.1 城市供水量的预测问题18

2.2 求未知函数近似表达式的插值法18

2.2.1 求函数近似表达式的必要性18

2.2.2 插值多项式的存在唯一性19

2.3 求插值多项式的拉格朗日（Lagrange）法20

2.3.1 拉格朗日插值基函数20

2.3.2 拉格朗日插值多项式20

2.3.3 插值余项22

2.3.4 插值误差的事后估计法23

2.4 求插值多项式的牛顿法24

2.4.1 向前差分与牛顿向前插值公式24

2.4.2 向后差分与牛顿向后插值公式26

2.4.3 差商与牛顿基本插值多项式27

2.5 求插值多项式的改进算法29

2.5.1 分段低次插值29

2.5.2 三次样条插值31

2.6 求函数近似表达式的拟合法36

2.6.1 曲线拟合的最小二乘法37

2.6.2 加权最小二乘法44

2.6.3 利用正交函数作最小二乘法拟合45

2.7 城市供水量预测的简单方法47

2.7.1 供水量增长率估计与数值微分47

2.7.2 利用插值多项式求导数48

2.7.3 利用三次样条插值函数求导49

2.7.4 城市供水量预测50

习题254

第3章 湘江流量计算问题——数值积分法56

3.1 数值积分公式的构造及代数精度56

3.1.1 数值求积的必要性56

3.1.2 构造数值求积公式的基本方法56

3.1.3 求积公式的余项57

3.1.4 求积公式的代数精度57

3.2 数值求积的牛顿－柯特斯方法58

3.2.1 牛顿－柯特斯公式59

3.2.2 复合牛顿－柯特斯公式60

3.2.3 误差的事后估计与步长的自动选择63

3.2.4 复合梯形法的递推算式64

3.3 龙贝格算法66

3.3.1 龙贝格算法的基本原理66

3.3.2 龙贝格算法计算公式的简化68

3.4 高斯型求积公式与测量位置的优化选取69

3.4.1 高斯型求积公式的定义69

3.4.2 高斯型求积公式的构造与应用70

3.5 湘江流量的估计72

习题372

第4章 养老保险问题——非线性方程求根的数值解法74

4.1 养老保险问题74

4.1.1 问题的引入74

4.1.2 模型分析74

4.1.3 模型假设74

4.1.4 模型建立74

4.1.5 模型求解75

4.2 非线性方程求根的数值方法75

4.2.1 根的搜索相关定义75

4.2.2 逐步搜索法75

4.2.3 二分法76

4.2.4 迭代法77

4.2.5 牛顿公式82

4.2.6 牛顿法的几何意义82

4.2.7 牛顿法的局部收敛性83

4.2.8 牛顿法应用举例84

4.2.9 牛顿下山法85

4.2.10 弦截法与抛物线法86

4.2.11 多项式求值的秦九韶算法88

4.2.12 代数方程的牛顿法89

4.2.13 牛顿法对重根的处理89

4.3 养老保险模型的求解90

习题491

第5章 小行星轨道方程计算问题——线性方程组的数值解法92

5.1 小行星轨道方程问题92

5.1.1 问题的引入92

5.1.2 模型的分析92

5.1.3 模型的假设93

5.1.4 模型的建立93

5.2 线性方程组数值解法概述93

5.3 直接解法94

5.3.1 高斯消元法94

5.3.2 矩阵的三角分解97

5.3.3 高斯消元法的计算量99

5.3.4 高斯主元素消元法99

5.3.5 完全主元素消元法100

5.3.6 列主元消元法101

5.3.7 高斯－约当消元法103

5.3.8 高斯消元法的变形105

5.3.9 平方根法107

5.3.10 追赶法109

5.4 迭代法112

5.4.1 雅可比迭代法113

5.4.2 高斯－赛德尔迭代法114

5.4.3 迭代法的收敛性115

5.4.4 超松弛迭代法121

5.5 误差分析124

5.5.1 矩阵的条件数及误差分析124

5.5.2 迭代改善法128

5.5.3 舍入误差分析130

5.6 小行星轨道方程问题的模型求解130

习题5131

第6章 常微分方程数值解法133

6.1 实际问题的微分方程模型133

6.2 简单的数值方法与基本概念134

6.2.1 常微分方程初值问题134

6.2.2 欧拉法及改进的欧拉法135

6.2.3 截断误差与算法精度的阶137

6.3 线性多步法140

6.3.1 数值积分法140

6.3.2 待定系数法142

6.4 非线性单步法——龙格－库塔法144

6.4.1 泰勒展开法144

6.4.2 龙格－库塔法145

6.5 一阶方程组和高阶方程的初值问题150

6.6 常微分方程边值问题的数值解法151

6.6.1 试射法151

6.6.2 差分法153

习题6156

第7章 产品的次品率的推断——估计与检验157

7.1 问题的提出157

7.2 基本概念和重要结论157

7.3 估计方法161

7.3.1 点估计161

7.3.2 区间估计163

7.4 假设检验165

7.4.1 参数假设检验165

7.4.2 分布假设检验169

习题7171

第8章 屈服点与含碳量和含锰量的关系——回归分析174

8.1 问题的提出174

8.2 一元线性回归174

8.2.1 回归分析的基本思想和一般步骤174

8.2.2 模型和参数估计176

8.2.3 模型检验178

8.2.4 预测179

8.2.5 控制180

8.3 多元线性回归181

8.3.1 模型和参数估计181

8.3.2 模型检验184

8.3.3 预测185

8.3.4 变量选择及多元共线性问题186

8.3.5 线性回归的推广191

习题8193

第9章 灯丝配料对灯泡寿命的影响——方差分析与正交试验设计195

9.1 问题的提出195

9.2 一元方差分析195

9.3 二元方差分析197

9.3.1 无重复试验的方差分析197

9.3.2 重复试验的方差分析200

9.4 正交试验设计204

9.4.1 方差分析法的推广和正交试验法的提出204

9.4.2 正交表及直观分析法205

9.4.3 正交试验法的方差分析法208

9.4.4 考虑交互作用的正交设计210

习题9212

第10章 线性规划模型与理论215

10.1 线性规划的数学模型215

10.2 线性规划的标准形式218

10.2.1 标准形式218

10.2.2 化线性规划问题为标准形式219

10.3 两个变量线性规划问题的图解法220

10.4 线性规划的基本概念和基本定理222

10.4.1 可行解、可行域222

10.4.2 最优解、无界解223

10.4.3 基本可行解223

10.4.4 凸集226

10.5 线性规划的基本定理228

习题10229

第11章 线性规划的单纯形算法232

11.1 单纯形法原理232

11.1.1 枢轴运算232

11.1.2 典范型线性方程组233

11.1.3 单纯形法的一般步骤233

11.1.4 判别数、最优判别定理235

11.2 表格单纯形方法237

11.3 人工变量及初始基本可行解246

11.3.1 人工变量大M单纯形法247

11.3.2 人工变量两阶段单纯形法248

习题11251

第12章 线性规划的对偶问题253

12.1 对称的对偶规划253

12.1.1 对偶问题的提出253

12.1.2 （LP）、（LD）的对偶定理256

12.2 非对称及混合型对偶规划260

12.2.1 （SLP）的对偶规划260

12.2.2 （SLP）、（SLD）的对偶定理261

12.2.3 混合型对偶线性规划262

12.3 对偶单纯形法264

12.3.1 什么是对偶单纯形法264

12.3.2 对偶单纯形法的迭代原理264

12.3.3 人工约束方法267

12.4 对偶问题的经济意义——影子价格272

习题12275

第13章 最优化问题数学建模专题277

13.1 引言277

13.2 最优化问题数学建模278

13.3 最优化问题的基本概念280

13.4 二维问题的图解法282

13.5 二次函数284

13.6 梯度与Hesse矩阵286

13.6.1 多元函数的可微性和梯度286

13.6.2 梯度的性质287

13.6.3 Hesse矩阵289

13.7 多元函数的泰勒展开公式291

13.8 极小点及其判定条件291

13.8.1 极小点的概念291

13.8.2 局部极小点的判定条件292

13.9 下降迭代算法及其收敛性292

13.9.1 下降迭代算法292

13.9.2 迭代算法中直线搜索及其性质294

13.9.3 收敛速度294

13.9.4 非线性最优化算法简介295

习题13295

参考文献297