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绪论1

1 插值法11

1.1 插值问题11

1.1.1 基本概念11

1.1.2 插值多项式的存在唯一性11

1.2 拉格朗日(Lagrange)插值12

1.2.1 Lagrange 插值多项式12

1.2.2 插值余项表达式14

1.3 差商与牛顿(Newton)插值16

1.3.1 差商的定义和性质17

1.3.2 Newton 插值公式18

1.4 差分与等距节点插值20

1.4.1 差分及其性质21

1.4.2 等距节点插值公式22

1.5 埃尔米特(Hermite)插值24

1.6 三次样条插值27

1.6.1 多项式插值的缺陷与分段插值27

1.6.2 三次样条插值函数28

1.6.3 三次样条插值函数的构造方法29

1.6.4 两点说明35

习题136

2 曲线拟合与平方逼近39

2.1 观测数据的最小二乘拟合39

2.1.1 最小二乘问题39

2.1.2 正规方程组40

2.2 正交多项式43

2.2.1 切比雪夫(Chebyshev)多项式43

2.2.2 一般正交多项式48

2.3 最佳平方逼近49

2.3.1 预备知识49

2.3.2 最佳平方逼近51

习题254

3 数值积分与数值微分56

3.1 数值积分的基本思想与代数精确度56

3.1.1 基本思想56

3.1.2 插值型求积公式57

3.1.3 代数精确度58

3.2 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式58

3.2.1 公式导出58

3.2.2 几种低阶求积公式的余项61

3.2.3 复化求积法62

3.3 龙贝格(Romberg)算法64

3.3.1 梯形公式的递推关系64

3.3.2 Romberg 算法66

3.4 高斯(Gauss)公式69

3.4.1 基本概念69

3.4.2 Gauss 点70

3.4.3 高斯-勒让德(Gauss-Legendre)公式71

3.4.4 稳定性和收敛性73

3.4.5 带权 Gauss 公式74

3.5 数值微分75

3.5.1 插值型求导公式75

3.5.2 三次样条插值求导79

习题379

4 常微分方程数值解法82

4.1 数值解法的基本思想和途径82

4.1.1 初值问题82

4.1.2 离散化方法82

4.1.3 几个基本概念84

4.2 龙格-库塔(Runge-Kutta)法86

4.2.1 Runge-Kutta 法的基本思想86

4.2.2 四阶 Runge-Kutta 法88

4.2.3 步长的选取89

4.3 单步法的收敛性和稳定性90

4.3.1 单步法的收敛性90

4.3.2 单步法的稳定性92

4.4 线性多步法93

4.4.1 阿当姆斯(Adams)显式公式93

4.4.2 Adams 隐式公式95

4.4.3 Adams 预报-校正公式96

4.5 一阶方程组与高阶方程的数值解法97

4.5.1 一阶方程组97

4.5.2 化高阶方程为一阶方程组98

4.6 边值问题的差分解法98

习题4100

5 非线性方程求根102

5.1 迭代法102

5.1.1 简单迭代法102

5.1.2 收敛问题103

5.1.3 迭代过程的收敛速度及加速107

5.2 牛顿(Newton)迭代法110

5.2.1 Newton 迭代法110

5.2.2 局部收敛性110

5.2.3 Newton 下山法112

5.2.4 解非线性方程组的 Newton 迭代法112

5.3 弦截法113

5.3.1 单点弦截法113

5.3.2 双点弦截法114

5.4 代数方程求根115

5.4.1 秦九韶算法115

5.4.2 代数方程的 Newton 法116

5.4.3 劈因子法117

习题5119

6 线性方程组的直接解法121

6.1 引言121

6.2 高斯(Gauss)消去法121

6.2.1 系数矩阵为三角形的方程组122

6.2.2 Gauss 消去法122

6.2.3 列主元消去法126

6.2.4 全主元消去法127

6.3 高斯-约当(Gauss-Jordan)消去法与矩阵求逆128

6.3.1 Gauss-Jordan 消去法128

6.3.2 用 Gauss-Jordan 方法求逆矩阵131

6.4 解三对角方程组的追赶法133

6.5 矩阵的三角分解及 Gauss 消去法的变形135

6.5.1 矩阵的 LU 分解136

6.5.2 方程组的求解137

6.5.3 平方根法138

6.5.4 改进的平方根法138

6.6 向量范数和矩阵范数139

6.6.1 向量的范数140

6.6.2 矩阵的范数141

6.7 误差分析143

6.7.1 方程组的性态和条件数143

6.7.2 精度分析145

习题6146

7 解线性方程组的迭代法149

7.1 雅可比(Jacobi)迭代法与赛德尔(Seidel)迭代法149

7.1.1 Jacobi 迭代法149

7.1.2 Seidel 迭代法150

7.1.3 迭代公式的矩阵表示152

7.2 迭代法的收敛性153

7.2.1 迭代法收敛的充要条件153

7.2.2 迭代法收敛的充分条件156

7.2.3 系数矩阵是对角占优情形157

7.3 迭代法的误差估计159

7.4 超松驰迭代(SOR)法160

习题7162

8 矩阵的特征值与特征向量计算164

8.1 幂法与反幂法164

8.1.1 幂法164

8.1.2 幂法的加速169

8.1.3 反幂法170

8.2 雅可比(Jacobi)方法172

8.2.1 预备知识172

8.2.2 Jacobi 方法173

8.2.3 Jacobi 过关法177

8.3 QR 算法177

8.3.1 QR 分解177

8.3.2 QR 算法180

习题8181

9 上机实习课题183

9.1 插值问题数值试验题183

9.2 曲线拟合问题的数值试验题183

9.3 数值积分的数值试验题184

9.4 常微分方程初值(边值)问题的数值试验题185

9.5 方程求根的数值试验题186

9.6 线性方程组求解的数值试验题187

9.7 矩阵特征值计算的数值试验题187

9.8 矩阵条件数的估计188

参考文献190