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第一章 基本概述1

1.1 集合1

1.2 数环和数域3

1.3 数学归纳法7

1.4 整数的整除性11

1.5 整数的分解17

第二章 行列式20

2.1 n元排列20

2.2 行列式定义23

2.3 行列式的基本性质29

2.4 行列式依行、依列展开38

2.5 行列式的计算45

2.6 拉普拉斯定理、行列式相乘规则54

2.7 克莱姆法则61

第三章 矩阵67

3.1 矩阵的运算67

3.2 矩阵的秩76

3.3 逆方阵83

3.4 初等方阵89

3.5 分块矩阵及其应用96

4.1 消元法109

第四章 线性方程组109

4.2 n元向量119

4.3 向量的线性相关性126

4.4 矩阵的行秩与列秩137

4.5 线性方程组的公式解142

4.6 线性方程组解的结构147

第五章 一元多项式156

5.1 多项式的运算156

5.2 多项式的整除性160

5.3 最大公因式166

5.4 不可约多项式174

5.5 重因式180

5.6 多项式的根184

第六章 复数域、实数域和有理数域上的多项式191

6.1 n次单位根191

6.1 复数域上的多项式196

6.3 实数域上的多项式201

6.4 有理数域上多项式的有理根204

6.5 艾森斯坦判别法209

第七章 多元多项式216

7.1 一般概念216

7.2 对称多项式220

7.3 对称多项式与一元多项式的根228

第八章 二次齐式232

8.1 化二次齐式为标准形233

8.2 二次齐式的矩阵表示241

8.3 用初等变换求标准形248

8.4 惯性定理254

8.5 正定二次齐式258

第九章 线性空间269

9.1 映射与变换269

9.2 代数运算274

9.3 线性空间与子空间279

9.4 基与维数285

9.5 坐标290

9.6 子空间的和与直和296

9.7 线性空间的同构301

第十章 线性变换306

10.1 线性变换的定义和运算306

10.2 线性变换的矩阵311

10.3 不变子空间319

10.4 特征向量与特征值325

10.5 特征多项式332

10.6 方阵对角化与特征子空间337

11.1 欧氏空间定义和简单性质347

第十一章 欧氏空间347

11.2 正交基和标准正交基353

11.3 子空间的正交360

11.4 正交变换和正交方阵362

11.5 对称变换和对称方阵372

第十二章 群、环、域初步380

12.1 群的定义和例子380

12.2 子群388

12.3 群的同态和同构391

12.4 环的定义和例子396

12.5 域403

附录一 向量在子空间上的正射影、最小二乘法408

附录二 λ-矩阵413

1 λ-矩阵的初等变换414

2 λ-矩阵的标准形418

3 不变因子和初等因子423

4 方阵相似的判定430

5 约当(Jordan)标准形436

6 有理标准形441

习题答案与提示446

名词索引471