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第1章 偏微分方程定解问题1

1.1 三个典型方程的导出1

1.1.1 弦的横振动1

1.1.2 热传导问题4

1.1.3 静电场5

1.2 定解问题及其适定性7

1.2.1 通解和特解8

1.2.2 定解条件8

1.2.3 定解问题及其适定性12

1.3 一阶线性（拟线性）偏微分方程的通解法和特征线法13

1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程13

1.3.2 n个自变量的一阶线性偏微分方程（n≥2）16

1.3.3 一阶拟线性偏微分方程20

1.4 波动方程的行波解26

1.4.1 一维波动方程的通解和初值问题的达朗贝尔（d’Alembert）公式26

1.4.2 半直线上的问题——延拓法29

1.4.3 中心对称的球面波31

1.5 二阶线性偏微分方程的分类和标准式32

1.5.1 特征方程和特征线33

1.5.2 方程的分类、化简和标准形34

1.6 叠加原理和齐次化原理40

1.6.1 线性叠加原理40

1.6.2 齐次化原理（冲量原理）42

习题144

第2章 分离变量法47

2.1 两个典型例子47

2.1.1 两端固定弦的自由振动47

2.1.2 圆柱体稳态温度分布51

2.2 一般格式，固有值问题55

2.2.1 一般格式55

2.2.2 固有值问题的施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）定理57

2.2.3 例题63

2.3 非齐次问题69

2.3.1 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题69

2.3.2 一般的非齐次混合问题75

2.3.3 非齐次稳定方程的边值问题77

习题280

第3章 特殊函数及其应用82

3.1. 正交曲线坐标系下的变量分离82

3.1.1 Helmholtz方程在直角坐标系下的变量分离及高维Fourier展开82

3.1.2 Helmholtz方程在柱坐标系下的变量分离及Bessel方程的导出84

3.1.3 Helmholtz方程在球坐标系下的变量分离及Legendre方程的导出85

3.2 常微分方程的幂级数解86

3.2.1 二阶线性常微分方程的解析理论86

3.2.2 Legendre方程的幂级数解及Legendre函数87

3.2.3 Bessel方程的广义幂级数解及Bessel函数89

3.3 Legendre函数93

3.3.1 Legendre多项式的表示和性质93

3.3.2 Legendre方程的固有值问题及正则奇点情况下的S-L定理97

3.3.3 轴对称Laplace方程球面边值问题99

3.3.4 伴随Legendre方程和伴随Legendre函数104

3.3.5 一般情形下Laplace方程球面边值问题及球函数107

3.4 Bessel函数111

3.4.1 Bessel函数的表示和性质111

3.4.2 Bessel方程的固有值问题117

3.4.3 圆柱形区域上的混合问题和边值问题，虚变量Bessel函数119

3.4.4 球Bessel函数及其应用127

3.4.5 可以化为Bessel方程的方程130

习题3132

第4章 积分变换法135

4.1 Fourier变换法135

4.1.1 Fourier变换135

4.1.2 用Fourier变换求解无界区间上的定解问题137

4.1.3 Fourier正弦、余弦变换和半无界区间上的定解问题140

4.1.4 高维问题143

4.2 Laplace变换法144

4.2.1 Laplace变换144

4.2.2 用Laplace变换求解发展方程的定解问题146

4.3 一般积分变换简介149

4.3.1 分离变量法和积分变换法150

4.3.2 一般积分变换原理和其他积分变换151

习题4159

第5章 基本解方法161

5.1 δ函数，广义函数简介161

5.1.1 δ函数和广义函数161

5.1.2 δ函数和广义函数的性质和运算164

5.1.3 高维δ函数和广义函数170

5.2 Lu＝0型方程的基本解173

5.2.1 基本解和解的积分表达式173

5.2.2 基本解的求法175

5.3 边值问题的Green函数法179

5.3.1 场位方程边值问题的Green函数及解的积分公式179

5.3.2 Green函数的求法182

5.3.3 Helmholtz方程边值问题及其Green函数194

5.4 初值问题的基本解方法195

5.4.1 ut＝Lu型方程初值问题的基本解196

5.4.2 utt＝Lu型方程初值问题的基本解197

5.4.3 热传导方程的初值问题200

5.4.4 波动方程的初值问题201

5.4.5 混合问题的Green函数法208

5.5 广义函数209

5.5.1 广义函数的概念209

5.5.2 E（Rn），？（Rn），D（Rn）与E’（Rn），？（Rn），D’（Rn）211

5.5.3 广义函数和广义函数极限的几个例子213

5.5.4 广义函数的局部性质及广义函数的支集215

5.5.5 广义函数的某些简单运算216

5.5.6 广义函数的导数和对参变数的导数218

5.5.7 广义函数的FT和F-1T223

5.5.8 广义函数的卷积225

习题5226

第6章 微分方程的变分方法229

6.1 泛函和泛函极值229

6.1.1 泛函和泛函极值229

6.1.2 几个例子230

6.2 泛函的变分，Euler方程和边界条件233

6.2.1 变分法基本引理233

6.2.2 一元函数泛函的变分、Euler方程和边界条件233

6.2.3 二元函数泛函和多元函数泛函的情况238

6.2.4 混合积分型泛函的情况242

6.2.5 两个一元函数（y（x），z（x））的泛函的情况243

6.2.6 泛函中包含二阶导数的情况245

6.2.7 两个二元函数泛函的情况246

6.2.8 Hamilton原理和例子247

6.2.9 活动区间问题和横截条件249

6.3 变分问题的直接法及微分方程的变分方法251

6.3.1 变分问题的直接法251

6.3.2 微分方程的变分方法254

6.3.3 微分方程的广义解256

6.4 泛函的条件极值256

6.4.1 条件极值257

6.4.2 等周问题259

6.4.3 等周问题和自共轭微分方程的固有值问题261

习题6265

习题参考答案267

参考文献280